この結果は一見したときよりも、はるかに重要です。

下部の2つのパネルは、長期的なべき乗則トレンドを除去した後にビットコインの価格履歴に残されたものであり、成長を取り除いた生の振動を示しています。
その残差はノイズではありません。それはほぼ完全に単一の周波数とその整数倍（2×、3×、4×）によって適合しています。これらは高調波であり、振動する弦から量子井戸まで、物理システムの共鳴を支配するのと同じ数学的構造です。
しかし、その重要性は通常の共鳴を超えています。ここでのスペクトルは時間的に周期的ではなく、時間の対数に対して周期的です。これは離散スケール不変性の署名です。つまり、時間を一定の比率でスケーリングすることに対して対称性を持ち、固定量だけ時間を進めるのではありません。規則的な間隔で繰り返すのではなく、構造はスケールの正の整数倍で繰り返されます。各サイクルは前のサイクルの約2倍の長さになります。
ほとんどのスケール不変システムは連続スケール不変性を示し、これは任意の因子でリスケーリングしても同じに見えることを意味します。一方、離散スケール不変性はより稀で、より特定的です。システムは特定の比率λ≈2でのリスケーリングにのみ自己相似性を持ちます。ビットコインはこれらの両方を示しているように見えます。べき乗則のトレンドにおける連続スケール不変性と、その上に乗る振動における離散スケール不変性の両方です。
チャートの色分けされた三角形は、重要なポイントを直接視覚化しています。モデルが予測するすべてのピーク（大きなものも小さなものも）は、実際のデータのピークと一致しています。
この対応は強制されたものではありません。モデルは残差系列全体に適合させられたものであり、個々のピークに合わせて調整されたものではありません。ピークは数学的な性質から自然に現れ、データがそれを裏付けています。
これらは単なるフィッティングの結果ではなく、実際の振動であり、一貫した高調波構造を持っています。物理学においては、このような構造は、潜在的な共鳴メカニズムが存在し、それを特定しようとしていることを示唆しています。